Как решать уравнения: простые, линейные и квадратные по шагам

Что такое уравнение и его корень

Уравнение — это равенство с неизвестным, которое обычно обозначают буквой x. Корень уравнения — число, при подстановке которого вместо x получается верное равенство. Решить уравнение значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Например, в уравнении x + 3 = 10 корень равен 7, потому что 7 + 3 = 10. Число 6 корнем не будет: 6 + 3 = 9, а не 10.

Уравнения по классам: школьный курс математики

Порядок тем в учебниках разных авторов немного отличается, но общая последовательность у всех одинаковая.

Простые уравнения: 1–4 класс

Младшие школьники ищут неизвестное не переносом, а через правила о компонентах действий. Их стоит выучить наизусть.

В 3–4 классе появляются составные уравнения. Например, (x + 5) · 3 = 36. Здесь неизвестен множитель — вся скобка. Находим её: x + 5 = 36 : 3 = 12. Теперь неизвестно слагаемое: x = 12 − 5 = 7. Проверка: (7 + 5) · 3 = 12 · 3 = 36. Верно.

Родителям важно помнить: учитель обычно требует записывать решение столбиком, по одному действию в строке, и делать проверку.

Линейные уравнения: как решать уравнения 6 и 7 класса

Линейное уравнение имеет вид ax + b = 0 или сводится к нему. Решение строится по одному алгоритму.

1. Раскройте скобки, если они есть.
2. Перенесите слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую. При переносе через знак «=» знак слагаемого меняется на противоположный.
3. Приведите подобные: сложите все x и все числа.
4. Разделите обе части на коэффициент при x.
5. Проверьте ответ подстановкой в исходное уравнение.

Пример 1

5x − 3 = 2x + 9. Решение. Переносим: 5x − 2x = 9 + 3, то есть 3x = 12, x = 4. Проверка: слева 5 · 4 − 3 = 17, справа 2 · 4 + 9 = 17. Верно.

Пример 2: уравнение со скобками

3(x − 2) = 2(x + 1). Решение. Раскрываем скобки: 3x − 6 = 2x + 2. Переносим: 3x − 2x = 2 + 6, x = 8. Проверка: 3 · (8 − 2) = 18 и 2 · (8 + 1) = 18. Верно.

Пример 3: уравнение с дробями

x/3 + x/4 = 7. Решение: чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на общий знаменатель 12: 4x + 3x = 84, 7x = 84, x = 12. Проверка: 12/3 + 12/4 = 4 + 3 = 7. Верно.

Когда корней нет или их бесконечно много

Если после упрощения получилось 0 · x = 5, корней нет: ноль, умноженный на любое число, не даёт пять. Если получилось 0 · x = 0, подходит любое число. Например, уравнение x = x верно при любом x — корней бесконечно много.

Как решать квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Главный способ — через дискриминант.

1. Выпишите коэффициенты a, b, c, не теряя минусы.
2. Найдите дискриминант: D = b² − 4ac.
3. Если D > 0, корней два: x = (−b ± √D) / 2a.
4. Если D = 0, корень один: x = −b / 2a.
5. Если D < 0, действительных корней нет.

Разберём четыре случая

x² − 5x + 6 = 0. Здесь a = 1, b = −5, c = 6. D = 25 − 24 = 1. Корни: x = (5 + 1)/2 = 3 и x = (5 − 1)/2 = 2.

2x² + 3x − 2 = 0. a = 2, b = 3, c = −2. D = 9 + 16 = 25, √D = 5. Корни: x = (−3 + 5)/4 = 0,5 и x = (−3 − 5)/4 = −2. Проверка для −2: 2 · 4 − 6 − 2 = 0. Верно.

x² − 6x + 9 = 0. D = 36 − 36 = 0. Один корень: x = 6/2 = 3.

x² + 2x + 5 = 0. D = 4 − 20 = −16. Дискриминант отрицательный — корней нет.

Теорема Виета

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение — q. В уравнении x² − 5x + 6 = 0 подбираем два числа с суммой 5 и произведением 6: это 2 и 3. Так быстро находят корни простых уравнений и проверяют ответ, найденный через дискриминант.

Неполные квадратные уравнения

Если b или c равны нулю, дискриминант не нужен.

• c = 0: x² − 4x = 0. Выносим x за скобку: x(x − 4) = 0. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: x = 0 или x = 4.
• b = 0: x² − 9 = 0, x² = 9, x = 3 или x = −3. А уравнение x² + 4 = 0 корней не имеет: квадрат не бывает отрицательным.
• b = 0 и c = 0: 5x² = 0, единственный корень x = 0.

Тот же приём «произведение равно нулю» помогает и в уравнении вида x(x − 1) = 0: корни 0 и 1.

Дробные, биквадратные и уравнения с модулем

Дробно-рациональные уравнения

Здесь неизвестное стоит в знаменателе. Сначала записывают условие: знаменатель не равен нулю. Пример: (x + 2)/(x − 1) = 4, причём x ≠ 1. Умножаем обе части на (x − 1): x + 2 = 4x − 4, отсюда 3x = 6, x = 2. Корень не равен единице, значит, подходит. Проверка: (2 + 2)/(2 − 1) = 4. Если найденный корень обращает знаменатель в ноль, его отбрасывают.

Биквадратные уравнения

В уравнении x⁴ − 5x² + 4 = 0 поможет замена переменной: пусть t = x². Получаем t² − 5t + 4 = 0, D = 25 − 16 = 9, t = 4 или t = 1. Возвращаемся к x: x² = 4 даёт x = ±2, x² = 1 даёт x = ±1. Ответ: четыре корня −2, −1, 1, 2.

Уравнения с модулем

Модуль числа — это расстояние от нуля, он не бывает отрицательным. Уравнение |x − 3| = 5 распадается на два: x − 3 = 5 или x − 3 = −5. Корни: 8 и −2. А уравнение |x| = −2 корней не имеет.

Как решать систему уравнений

Это несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. В 7 классе изучают простейший вариант: два линейных уравнения с двумя неизвестными. Два основных способа:

Способ подстановки

Пример: y = 2x − 1 и 3x + y = 9. Подставляем y из первого уравнения во второе: 3x + 2x − 1 = 9, 5x = 10, x = 2. Тогда y = 2 · 2 − 1 = 3. Ответ: (2; 3). Проверка во втором уравнении: 3 · 2 + 3 = 9.

Способ сложения

Другой пример: x + y = 10 и x − y = 4. Складываем уравнения: y взаимно уничтожается, остаётся 2x = 14, x = 7. Из первого уравнения y = 10 − 7 = 3. Ответ: (7; 3).

В 9 классе добавляются случаи, где одно уравнение квадратное. Для них обычно выбирают метод подстановки.

Как решать задачи с помощью уравнений

Текстовую задачу переводят на язык математики по схеме.

1. Обозначьте за x то, что неизвестно (чаще всего меньшую величину).
2. Выразите через x остальные величины.
3. Составьте уравнение по условию.
4. Решите его и ответьте на вопрос задачи.

Пример: в двух корзинах 30 яблок, в первой на 6 больше, чем во второй. Пусть во второй x яблок, тогда в первой x + 6. Уравнение: x + x + 6 = 30, 2x = 24, x = 12. Во второй корзине 12 яблок, в первой 18. Проверка: 12 + 18 = 30, разница 6.

Уравнения в 10–11 классе

Что меняется в старших классах? Видов становится больше, но идея та же — свести уравнение к уже знакомому.

• Иррациональные (с корнями): √(x + 2) = 3. Возводим в квадрат: x + 2 = 9, x = 7. Проверка обязательна, потому что возведение в квадрат может дать лишние корни.
• Показательные: 2^x = 8. Записываем 8 как 2³, значит x = 3.
• Кубические: x³ − x = 0. Выносим x: x(x² − 1) = 0, корни 0, 1 и −1.
• Тригонометрические: решение строится по формулам для простейших уравнений sin x = a, cos x = a, tg x = a, а сложные сводят к ним заменой или преобразованиями.

Все эти виды встречаются в экзаменационных вариантах. Подробнее о структуре старшего экзамена — в статье про профильную математику, о подготовке к девятому классу — в материале как подготовиться к ОГЭ.

Общие методы решения уравнений

Видов уравнений в школьном курсе математики много, а методов решения — несколько. Их полезно знать списком: глядя на новое уравнение, ребёнок выбирает подходящий метод, а не гадает.

Рассмотрим, как выбор метода экономит время. Дано уравнение (x − 2)² − 3(x − 2) = 0. Можно раскрыть скобки и получить квадратное уравнение, но короче другой путь: выражение x − 2 повторяется, и его выносят за скобку. Получаем (x − 2)(x − 2 − 3) = 0, то есть (x − 2)(x − 5) = 0, откуда x = 2 или x = 5. В таком случае решение занимает две строки вместо шести. Проверка для x = 5: 3² − 3 · 3 = 0. Верно.

Графический метод даёт приближённый ответ. Поэтому в средней школе его используют, чтобы понять, сколько корней у данного уравнения и где они примерно лежат, а точные значения находят алгебраически.

Типичные ошибки и как правильно решать уравнения

• забыли поменять знак при переносе слагаемого;
• раскрыли скобку с минусом перед ней и не поменяли знаки внутри;
• в дискриминанте возвели b в квадрат без учёта знака: (−5)² = 25, а не −25;
• разделили на выражение с x и потеряли корень;
• не проверили знаменатель и оставили посторонний корень;
• пропустили проверку.

Если ребёнок путается, объясните ему уравнение как весы: что бы мы ни делали с одной чашей, то же самое нужно сделать с другой, иначе равновесие нарушится. Простые уравнения лучше решать каждый день по пять-шесть штук, чем раз в неделю по двадцать. Если по алгебре уже стоит двойка, пригодится статья как исправить оценку, а зачем всё это нужно во взрослой жизни, рассказано в материале где пригодится математика.

Частые вопросы

Зачем делать проверку, если ответ получился? Проверка ловит ошибки в знаках и посторонние корни в дробных и иррациональных уравнениях. Учителя часто снижают оценку, если её нет.

Можно ли найти корни квадратного уравнения без дискриминанта? Да: неполные — разложением на множители, приведённые — подбором по теореме Виета. Но дискриминант работает всегда.

Что делать, если дискриминант отрицательный? Записать, что действительных корней нет. Это полноценный ответ.

Что удобнее для системы уравнений — подстановка или сложение? Если одна переменная легко выражается, удобнее подстановка. Если коэффициенты при одной переменной равны или противоположны, быстрее сложение.

Как объяснить ребёнку, как решать уравнения? Начните с весов и простых примеров, где ответ виден сразу, затем переходите к правилам. Хвалите за проверку, а не только за правильный ответ.